Формула дисконтирования по схеме простых процентов

Основу коммерческих вычислений составляют ссудно-заемные операции, в которых и проявляется, прежде всего, необходимость учета временной стоимости денег.

Несмотря на то, что в основе расчетов заложены простейшие вычислительные схемы, эти расчеты весьма многообразны, так как предусматривают различные условия контрактов, частоту и способы начислений, различные варианты предоставления и погашения ссуд.

Рассмотрев операции наращения, можно увидеть, что, предоставляя свои денежные средства в долг, их владелец получает определенный доход в виде процентов в течение определенного промежутка времени. Поскольку стандартным временным интервалом в финансовых операциях является год, наиболее распространен вариант, когда процентная ставка устанавливается в виде годовой ставки, под­разумевающей однократное начисление процентов по истечении года после получения ссуды. Известны две основные схемы дискретного начисления:

1) схема простых процентов;

2) схема сложных процентов.

По отношению к моменту времени начисления или выплаты проценты делятся на обычные и авансовые.

Обычные(заемные, декурсивные, postnumerando)проценты начисляются в конце периода финансовой операции.

Авансовые (антисипативные, дисконтные, учетные, prenumerando) начисляются в начале периода.

Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление. Если исходный инвестируемый ка­питал равенPV, а требуемая доходность в долях единицы составляетr, то считается, что инвестиция сделана на условиях простого про­цента, если инвестированный капитал ежегодно увеличивается на ве­личинуPV r.

Таким образом, через nлет размер инвестированного капитала будет равен:

Из приведенной формулы видно, что проценты начисляются на одну и ту же величину капитала в течение всего срока. Это выражение называется формулой наращения простыми процентами, а множитель (1 + n*r) – множителем наращения или коэффициентом наращения простыми процентами.

Из приведенной формулы видно, что приращение капитала со­ставляет величину PV*n*r, оно пропорционально сроку ссуды и ставке процента и растет линейно вместе с ростомn.Величину PV*n*rчасто называютпроцентным платежом.

Необходимо обратить внимание на размерность величин, опре­деляющих размер процентного платежа. Размерностиnиrвсегда должны быть согласованы. Таким образом, либоnдолжно измеряться в годах, либо с изменением размерностиn(например, не годы, а кварталы) ставка процента должна отра­жать рост за новую единицу времени (за квартал).

Исходя из сказанного наращение по простым процентам в слу­чае, если продолжительность финансовой операции не равна целому числу лет (например, меньше года), определяется по формуле:

где t – продолжительность финансовой операции в днях;

Т— количество дней в году.

Наращение по простым процентам применяется при обслужива­нии депозитных вкладов с ежемесячной выплатой процентов, и вообще в тех случаях, когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются вкладчику. Простые проценты применяют и при выдаче широко распространенных краткосрочных ссуд, т.е. ссуд, предоставляемых на срок до одного года с однократ­ным начислением процентов.

При использовании схемы простых процентов частота начисле­ния не оказывает никакого влияния на суммарную величину процент­ных денег.

Клиент поместил в банк вклад в сумме 35 тыс. руб. под 15 % го­довых.

Какова будет суммарная величина процентных денег, если:

а) проценты будут начисляться один раз в конце года;

б) проценты будут начисляться ежемесячно?

В первом случае FV PV= 35* 0,15* 1 год = 5,25 тыс. руб.

Во втором случае FV PV= 35* 1/12* 0,15 = 437,5 руб.

Т.е. во втором случае суммарный годовой доход клиента в виде на­численных процентов составит те же 437,5* 12 = 5,25 тыс. руб.

При определении продолжительности финансовой опера­ции принято день выдачи и день погашения ссуды считать одним днем. В зависимости от того, чему принимается равной продолжи­тельность периода сделки (год, квартал, месяц), размер промежу­точной процентной ставки может быть различным. Возможны сле­дующие варианты:

1) точный процент (exactinterest), определяемый исходя из точного числа дней в году (365 или 366), в квартале (от 89 до 92), в месяце (от 28 до 31);

2) обыкновенный процент (ordinaryinterest), определяемый исходя из прибли­женного числа дней в году, квартале, месяце (соответственно, 360, 90, 30).

При определении продолжительности периода, на который вы­дана ссуда, также возможны два варианта:

1) в расчет принимается точное число дней, на которое вы­дана ссуда;

2) в расчет принимается приближенное число дней, не кото­рое выдана ссуда (исходя из продолжительности месяца 30 дней).

Исходя из сказанного, расчет может выполняться одним из трех способов:

1) Точный процент с точным числом дней. Этот вариант дает самые точные результаты (Вели­кобритания, США). Обозначение 365/365, ACT/ACT.

2) Обыкновенный процент с точным числом дней. Этот метод иногда называют банковским (Banker’sRule), распространен в ссудных операциях коммерческих банков, в частности во Франции, Бельгии.Этот вариант дает несколько больший результат, чем применение точных процентов. При числе дней ссуды, превышающем 360, данный способ приводит к тому, что сумма начисленных процентов будет больше, чем предусматривается годовой ставкой. Например, если t=364, то n=364/360=1,011. Обычно это условие финансовой сделки обозначается как 365/360,ACT/360.

3) Обыкновенный процент с приближенным чис­лом дней. Такой метод применяется тогда, когда не требуется большой точности, например при промежуточных расчетах. Он принят в коммерческих банках Германии. Обозначение в условиях фи­нансовой сделки 360/360, или немецкая практика;

Читайте также:  В случае банкротства банка какая сумма возвращается

Вариант с точными процентами и приближенным числом дней ссуды лишен смысла и не применяется.

Величина эффекта от выбора того или иного способа зависит от размеров суммы, фигурирующей в процессе финансовой операции.

Пример. Банк выдал кредит 20.01. в размере 500 тыс. руб. Срок возврата кредита 05.10. Процентная ставка установлена в размере 15% годовых. Год не високосный.

Точное число дней (по таблице) = 278 — 20 = 258 дня.

Приближенное число дней = 12 дней января + 30 дней февраля + 30 дней марта + 30 дней апреля + 30 дней мая + 30 дней июня + 30 дней июля + 30 дней августа + 30 дней сентября + 5 дней октября – 1 день = 256 дней.

 точный процент и точное число дней

тыс. руб.

 обыкновенный процент и точное число дней

тыс. руб.

 обыкновенный процент и приближенное число дней

тыс. руб.

Между величинами процентного дохода, рассчитанными с использованием различной временной базы, при равной продолжительности ссуды существуют следующие соотношения:

Эти соотношения могут быть использованы при определении эквивалентных процентных ставок, то есть ставок, приносящих одинаковые процентные доходы при различных временных базах, но равных первоначальных капиталах:

В мировой практике при расчете процента используют и другие величины.

Пусть . Тогда в формуле процентных денегможно записать. Поделив числитель и знаменатель дроби правой части равенства наr, получим:

, где.

В этих формулах – т.н. процентное число;

процентный ключ или дивизор.

Естественно, что при одной и той же ставке , но при различных значениях(360 или 365 дней) будет разным и дивизор.

Дивизор численно равен такому количеству денежных единиц, с которого при ставке процента получается 1 денежная единица в день.

Если PV=руб. (приt=T), тоI = **r = t (руб.в день).

Пример. Вычислить процент с капитала в 2,4 млн. руб., отдан­ного в долг по ставке 16% годовых на срок с 05.03. по 21.09. того же года, если расчет ведется способом 365/365.

t= 264 –64 = 200 дней.

D= 365/0,16 = 2281,25

I= 2,4*200/2281,25= 0,210411млн. руб.

Проверим: FV= 2281.25*(1 + 200/365*0,16) = 2481.25 руб.

Доход от операции 2481.25 – 2281.25 = 200 руб. за 200 дней или 1 руб. дохода за день финансовой операции (что и требовалось доказать).

В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной наращению процентов: по заданной сумме FV, которую следует уплатить через некоторое время n, необходимо определить сумму полученной ссуды PV. В этом случае говорят, что сумма FV дисконтируется или учитывается, сам процесс начисления процентов и их удержание называют учетом, а удержанные проценты – дисконтом или скидкой. Необходимость дисконтирования возникает, например, при покупке краткосрочных обязательств, оплата которых должником произойдет в будущем момент времени.

В более широком смысле дисконтирование – это средство приведения любой стоимостной величины, относящейся к будущему, на более ранний момент времени.

Величину PV, найденную с помощью дисконтирования, называют современной стоимостью, или современной величиной будущего платежа FV, а иногда текущей, или капитализированной, стоимостью.

В зависимости от вида процентной ставки применяют два метода дисконтирования – математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет. В первом случае применяется ставка наращения, во втором – учетная ставка.

1. Математическое дисконтированиепредставляет собой формальное решение задачи, обратной наращению первоначальной суммы ссуды. Задача в этом случае формулируется так: какую первоначальную сумму ссуды надо дать в долг, чтобы получить в конце срока сумму FV, при условии, что на долг начисляются проценты по ставке i.

Формула математического дисконтирования по простой процентной ставке имеет вид:

.

— дисконтный множитель.

Пример: Через 180 дней после подписания договора должник уплатит 310 тыс. руб. Кредит выдан под 16% годовых. Какова первоначальная сумма долга при условии, что временная база равна 365 дням?

Разность D можно рассматривать не только как проценты, начисленные на PV, но и как дисконт с суммы FV.

2. Банковский учет (учет векселей). Суть операции заключается в следующем: банк или другое финансовое учреждение до наступления срока платежа по векселю или иному платежному обязательству приобретает его у владельца по цене, которая меньше суммы, указанной на векселе, т.е. покупает (учитывает) его с дисконтом. Получив при наступлении срока векселя деньги, банк реализует процентный доход в виде дисконта. В свою очередь владелец векселя с помощью его учета имеет возможность получить деньги хотя и не в полном объеме, однако раньше указанно на нем срока.

При учете векселя применяется банковский, или коммерческий, учет. Согласно этому методу проценты за пользование ссудой в виде дисконта начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока. При этом применяется учетная ставка d.

Формула банковского учета по простой учетной ставке имеет вид:

Читайте также:  Рефинансирование кредита в петропавловске казахстан

,

где n – срок от момента учета до даты погашения векселя.

— дисконтный множитель.

Учет посредством учетной ставки чаще всего осуществляется при временной базе k = 360 дней, число дней ссуды обычно берется точным (365/360).

Пример: Вексель выписан на сумму 100 тыс. руб. с уплатой 17 ноября 2012 г. Владелец векселя учел его в банке 23 сентября 2012 г. по простой учетной ставке 20% годовых. Определить полученную при учете сумму и дисконт.

Операции начисления процентов и дисконтирования по учетной ставке могут совмещаться. Например, при учете долгового обязательства, предусматривающего начисление простых процентов, следует решить две задачи:

1. Определение наращенной стоимости (FV).

2. Расчет суммы, полученной при учете (PV).

,

где — первоначальная сумма ссуды;

— сумма, полученная при учете;

— общий срок платежного обязательства (срок начисления процентов);

— срок от момента учета до даты погашения долгового обязательства, причем .

Пример: Дополним условия предыдущего примера. Пусть на первоначальную сумму (100 тыс. руб.) теперь начисляются простые проценты по ставке 20,5 % годовых. Определить наращенную сумму долга и сумму, полученную при учете, если общий срок платежного обязательства – 120 дней.

Наращение по учетной ставке

Простая учетная ставка иногда применяется и при расчете наращенной суммы. В частности, в этом возникает необходимость при определении суммы, которую надо проставить в векселе, если задана текущая сумма долга. Наращенная сумма в этом случае

.

Множитель наращения здесь равен 1/(1-nd).

Дата добавления: 2016-01-20 ; просмотров: 3402 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Лекция 2

Простые проценты

Наращение простыми процентами (рассматривалось в лекции 1)

Схема простых процентов предполагает неизменность величины, с которой происходит начисление. Пусть исходный инвестируемый капитал равен Р, требуемая доходность – r (в десятичных дробях). Считается, что инвестиция сделана на условиях простого процента, если инвестированный капитал ежегодно увеличивается на величину Р·r. Таким образом, размер инвестированного капитала через n лет будет равен:

F = P + P·r + … + P·r = P + Pnr = P(1+nr), (1)

т.е. проценты начисляются на одну и ту же величину капитала в течение всего срока.

Выражение (1) называется формулой наращения по простым процентам, а множитель (1+nr) – множителем наращения. Очевидно, что множитель наращения равен индексу роста капитала Р за n лет.

Легко видеть, что приращение капитала I = Pnr (2)

пропорционально сроку ссуды и ставке процента, т.е. доход инвестора растет линейно вместе с n.

На практике процентная ставка r может зависеть от величины исходного капитала Р: с увеличением капитала увеличивается и устанавливаемая ставка. Например, если инвестируется капитал до 20 тыс. руб., то устанавливается одна процентная ставка, более 20 тыс. руб. – другая.

Например, найдем величину процента и наращенную сумму за трехлетний кредит в 20 тыс. руб., взятый под 9%. Здесь Р = 20000, n = 3 года, r = 0,09. I = 20·3·0.09 = 5,4 тыс. руб., F = P + I = 20 + 5,4 = 25,4 тыс. руб.

Дисконтирование по простым процентам

При заключении финансовых соглашений часто приходится решать задачу, обратную задаче нахождения наращенной суммы. Например, по заданной сумме F, которую предполагают получить (или уплатить) через время t, требуется определить величину капитала Р, который необходимо инвестировать в данный момент, чтобы через время t при постоянной процентной ставке r получить сумму F. Аналогичная задача возникает и в случае, когда проценты удерживаются непосредственно при выдаче ссуды.

Как известно из предыдущей лекции, такое движение денежных средств от будущего к настоящему носит название дисконтирования. Говорят, что капитал F дисконтируется; величина удержанных процентов часто называется дисконтом(discount). Иногда так называют учетную ставку. Капитал Р, найденный с помощью процесса дисконтирования суммы F, называется приведенной (современной, текущей, капитализированной) стоимостью. Понятие приведенной стоимости является одним из важнейшим в количественном анализе финансовых операций.

Различают математическоеи банковское дисконтирование.

При математическом дисконтированиирешается задача нахождения такой величины капитала Р, которая через n лет при наращении по простым процентам по ставке r будет равна F. Решая (1) относительно Р, получим:

(3)

Таким образом, величина Р является приведенной стоимостью величины F. Дисконт-фактор (дисконтный множитель, коэффициент дисконтирования) показывает долю капитала Р в F. Дисконтный множитель представляет собой величину, обратную множителю наращения простых процентов. В качестве ставки дисконтирования используется процентная ставка r. Разность между F и Р называется дисконтом:

(4)

Дисконт не пропорционален ни времени n, ни ставке процента r. При F = 1 и n = 1 из формулы (4) следует, что . Таким образом, если в качестве денежной единицы рассматривать, например, рубль, то дисконтный множитель представляет собой его разницу между рублем и его процентами за один год.

Пример.Из какого капитала можно получить 3,4 млн. руб. через 3 года наращением по простым процентам при ставке 12%? Пользуясь формулой (3), где F= 3,4; n = 3; r = 0,12, получим: млн. руб. D = F – P = 3,4 – 2,5 = 0,9 млн. руб.

В приведенном примере величина дисконта равна величине начисленных процентов, т.е. дисконт определяется через процентную ставку. Однако дисконт, понимаемый как скидка с конечной суммы долга, может быть установлен сразу в виде некоторой суммы (не связанной с процентной ставкой) на все время сделки.

Читайте также:  Сбербанк корпоративным клиентам телефон горячей линии

Банковское дисконтирование (или банковский учет) применяется при операции по так называемому учету векселей банком или другим финансовым учреждением.

Согласно международному вексельному законодательству вексель (bill) является письменным безусловным обязательством или указанием векселедателя (заемщика) выплатить в установ­ленный срок определенную сумму предъявителю векселя или лицу, указанному в векселе. Существуют различные виды век­селей: простые, переводные, коммерческие, казначейские и т.д.

Векселя могут оформляться по-разному, однако чаще всего банку приходится иметь дело с суммой к погашению. Рассмот­рим наиболее распространенную ситуацию, когда владелец век­селя на сумму F (сумма к погашению) предлагает банку раньше срока оплаты векселя купить его. Такая покупка векселя у вла­дельца до наступления срока оплаты по цене, меньшей той сум­мы, которая должна быть выплачена по векселю в конце срока, называется дисконтированием векселя. Сама операция дискон­тирования векселя часто называется учетом векселя (bill discounting). Сумма, которую получает векселедержатель при досрочном учете векселя, называется дисконтированной величи­ной векселя.

Таким образом, векселедержателю досрочно выплачивается обозначенная в векселе сумма за вычетом определенных про­центов, удерживаемых банком в свою пользу и нередко назы­ваемых дисконтом. Дисконт (обозначаемый Dd ) в этом случае представляет собой проценты, начисленные за время (n) от дня дисконтирования до дня погашения векселя на сумму (F), под­лежащую уплате в конце срока. Если объявленная банком став­ка дисконтирования равна d (учетная ставка), то

и владелец векселя получит

где множитель (1 — nd) называется дисконтным множителем или коэффици­ентом дисконтирования.

Очевидно, что чем выше значение дисконтной ставки, тем большую сумму удерживает банк в свою пользу. Учет векселя чаще всего осуществляется способом 365/360.

Пример.Векселедержатель предъявил для учета вексель на сумму 50 тыс. руб. со сроком погашения 28.09.1997 г. Вексель предъ­явлен 13.09.1997 г. Банк согласился учесть вексель по учетной ставке 30% годовых. Определить сумму, которую векселедер­жатель получит от банка.

Величина этой суммы рассчитывается по формуле (6) и при F = 50 тыс. руб., n = 15/360 года, d = 0,3 составит: P = 50·(1- = 49,375 тыс. руб. Разность между F (номинальной величиной векселя) и Р (дисконтированной величиной векселя), равная Dd, представля­ет собой комиссионные, удерживаемые банком в свою пользу за предоставленную услугу; в данном примере Dd = 625 руб.

По смыслу правая часть равенства (6) должна быть всегда неотрицательной. Следовательно, должно выполняться неравен­ство 1-nd > 0, что равносильно (так как d > 0) неравенству n . Таким образом, если при достаточно большой учетной ставке d попытаться учесть вексель задолго до срока платежа,

то можно вообще ничего не получить (при n = 1/d), При n > 1/d сумма Р, которую должен получить при учете векселя его вла­делец, становится отрицательной, что лишено смысла. Напри­мер, если d = 0,5 (учетная ставка в 50%), то должно быть n 2, т.е. учитывать вексель можно не более чем за два года до срока платежа; если d = 2 (ставка в 200%) , то должно быть n 0,5 (учет не более чем за полгода до срока).

Заметим, что при математическом дисконтировании таких ситуаций не возникает: при любой ставке г и любом сроке n всегда Р > 0. Так что учетная ставка более жестко отражает временной фактор, чем ставка г .

Пример. Банк 12.04.97 учел два векселя со сроками погашения соот­ветственно 20.05.97 и 11.06.97. При этом в результате примене­ния учетной ставки 18% годовых банком были удержаны ко­миссионные в размере 885 руб. Найти номинальную стоимость второго векселя, если первый вексель предъявлен на сумму 15 тыс. руб. Используется способ 365/360. 54

Первый вексель учтен за 38 дней до срока погашения, второй — за 60 дней. Обозначая F = 15 тыс. руб., n = 38/360 года, d = 0,18, по формуле (5) определим комиссионные, удержан­ные банком за согласие учесть первый вексель:

тыс. руб., т.е. руб.

Таким образом, дисконт от учета второго векселя составит:

= 600 руб.

Из формулы (5) следует, что F = . Поэтому, обозначая Dd = 600 руб., n = 60/360 года, d = 0,18, получим: F = = 20000 руб.

Следовательно, номинальная стоимость второго векселя рав­на 20 тыс. руб.

Возможна ситуация, когда вексель предусматривает начис­ление простых процентов на сумму по обязательству по про­центной ставке. В этом случае при учете векселя исходят из наращенной к сроку погашения векселя суммы.

В принципе при учете денежных обязательств (и, в частно­сти, векселей) банк может использовать процентную ставку и математическое дисконтирование. В этом случае владелец де­нежного обязательства получит сумму, определяемую формулой (3), а комиссионные банка находятся по формуле (4).

Естественно, математическое дисконтирование выгоднее для векселедержателя, а банковское дисконтирование — для банка.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock detector